[Robson Kerman]

Pastylka CR, lub dwa paluszki AAA itp. dają 3V
Akumulator Litowo-Jonowy ma napięcie 3,6V, czyli jeszcze nie spali modułu.
Możliwości zasilania ESP01 jest bezliku.

Czy można by ESP przesłało do Arduino rozkaz puszczenia w loop konkretną sekwencję np szybkie miganie "random" LED lub że świecą wszystkie LED'y, lub zapala się jedna po drugiej ?

Oczywiście, że można.
Dla Arduino napisz procedury sterujące diodami.
Czytaj polecenia z ESP i w pętli wywołuj te procedury.